2002年数学二考研真题解析
题目一
题目描述：
设函数 $f(x)$ 在 $(\infty, \infty)$ 上有定义，且满足 $f(x) f''(x) = e^x$。
1. 证明：对于任意 $x_0 \in (\infty, \infty)$，存在不为零的常数 $a, b$，使得 $f(x_0) = a e^{x_0} b e^{x_0}$。
2. 当 $f(x) = x^2 1$ 时，求 $f''(x) f(x) e^x = 0$ 的特解 $f(x)$。
解答：
1. 证明：根据常数变易法，设 $f(x) = u(x)e^x$，代入原方程得到 $u''(x) = 1$。求解得 $u(x) = \frac{1}{2}x^2 C_1x C_2$，其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。因此 $f(x) = e^x (\frac{1}{2}x^2 C_1x C_2)$。化简得到 $f(x) = a e^x b e^{x}$，其中 $a = \frac{1}{2}C_1 C_2$，$b = \frac{1}{2}C_1 C_2$。
2. 将 $f(x) = x^2 1$ 代入 $f''(x) f(x) e^x = 0$，得到 $(x^2 1) 2 e^x = 0$。整理得到 $x^2 e^x = 1$，即 $x^2 = e^x 1$。因此特解为 $f(x) = x^2 1$。
题目二
题目描述：
设 $f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x e^{t^2} dt$，求 $f'(x)$。
解答：
根据莱布尼茨积分公式，$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot e^{x^2}$。
题目三
题目描述：
设 $f(x) = x^3 3x^2 3x$，求 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的三阶泰勒多项式。
解答：
泰勒公式为 $f(x) = f(a) f'(a)(xa) \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 \frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3 \cdots$。对 $f(x) = x^3 3x^2 3x$ 在 $x=1$ 处展开，得到：
$f(1) = 1 3 3 = 1$,
$f'(x) = 3x^2 6x 3$，
$f''(x) = 6x 6$，
$f'''(x) = 6$。
代入泰勒公式得 $f(x) = 1 0(x1) 0(x1)^2 2(x1)^3$。因此 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的三阶泰勒多项式为 $1 2(x1)^3$。
通过上面的解答，我们可以得出2002年数学二考研真题的解答及相应的解析。
汶钡
这家伙太懒。。。
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