1. 题目： 求不定积分 $\int \frac{1}{x\ln{x}} dx$。
解析： 我们可以进行换元简化这个不定积分。令 $u = \ln{x}$，则 $du = \frac{1}{x} dx$。原不定积分可化简为 $\int \frac{1}{u} du = \ln{|u|} C = \ln{|\ln{x}|} C$，其中 $C$ 为积分常数。
2. 题目： 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{x}$。
解析： 这是一个典型的极限题。可以利用 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ 的性质，将原极限转化为 $\lim_{x \to 0} 3\frac{\sin{3x}}{3x} = 3$。
3. 题目： 设函数 $f(x) = ax^2 bx c$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最大值为5，在区间 $[1, 2]$ 上的最大值为7，求 $a, b, c$。
解析： 由题意可知，在区间 $[0, 1]$ 上，$f(1) = a b c = 5$；在区间 $[1, 2]$ 上，$f(1) = a b c = 7$。解这个方程组可得 $a = 2, b = 2, c = 1$。
4. 题目： 求函数 $f(x) = x^3 3x^2 9x 27$ 的零点。
解析： 可以利用因式分解或者综合除法求出 $f(x)$ 的根。将 $f(x)$ 化简为 $f(x) = (x3)^3$，可知 $x = 3$ 是 $f(x)$ 的三重根。
5. 题目： 求曲线 $y = x^2$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程。
解析： 曲线 $y = x^2$ 的斜率为 $2x$，在点 $(1, 1)$ 处的斜率为 $2$。切线的斜截式方程为 $y 1 = 2(x 1)$，化简可得切线方程 $y = 2x 1$。
天愉
这家伙太懒。。。
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